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Consulta eje 6

Consulta eje 6

by CABRERA SANTIAGO -
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Buenas tardes!

Quería hacer una pregunta del eje 6, acerca de la imposición de condiciones de borde. Según la recomendación del video estoy intentando hallar el potencial escalar magnético, que en la región interior tendría la forma  \sum_{l=1} A_l (r/a)^lP_l(\cos\theta) , y para ello debo imponer que:

 -\frac{\partial\phi_M^{ex}}{\partial\theta}+\frac{\partial\phi_M^{in}}{\partial\theta}=K ,

y de esto me quedan unas series que no estoy pudiendo resolver para hallar los coeficientes del potencial.

Me queda la siguiente relación:

 (l-1)A_{l-1}-(l+1)A_{l+1}=\mu_0I\frac{2l+1}{2}P_l(0)

pero no sé como de ahí concluir que:

 A_l=\frac{-\mu_0I}{2}P_{l-1}(0) . - esto lo saque de Zangwill.

A posteriori se cumple, i.e, si la sustituyo funciona... pero por este camino no se como hallarla. Si me pueden dar algún pique de como seguir, agradecido.

Mi otra consulta es si este camino es el óptimo, o si trabajando con el potencial vector A se facilitan las cuentas.

Saludos!


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Re: Consulta eje 6

by CABRERA SANTIAGO -
De paso agrego la consulta, que va anidada a esta,
Cuando derivo en el ángulo, dado que los polinomios dependen del coseno, tengo que aplicar regla de la cadena:
 \frac{\partial P_l(\cos\theta)}{\partial\theta}=\frac{\partial \cos \theta}{\partial \theta}\frac{\partial P_l(\cos\theta)}{\partial \cos\theta}
que me hacen aparecer senos de theta que luego siguen en la serie, y me parece que no deberían aparecer en la relación final que me determina los coef. Esto me pasa también en el 7... ¿alguna sugerencia de como evitar este problema?

Muchas gracias y disculpas por la cantidad de preguntas.
Saludos,
Santiago!
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Re: Consulta eje 6

by Eyheralde Rodrigo -
Tus dos preguntas están relacionadas. Primero, si elegís pegar las series correspondientes a soluciones de Laplace adentro y afuera, tenés que imponer dos condiciones. Una es la continuidad de la componente normal del campo magnético (es decir la derivada radial del potencial) y la otra es la que vos planteas. Ahí te van a aparecer derivas de polinomios de Legendre que se pueden escribir en términos de funciones asociadas de Legendre. En el apéndice C del Zangwill aparecen las propiedades básicas y en nuestro compendio de fórmulas se discuten justo antes de los armónicos esféricos. En este caso la fórmula más útil es que
 \frac{\partial P_l(\cos\theta)}{\partial\theta}=-P_l^1(\cos \theta)
Luego, las funciones asociadas de Legendre son una base de funciones con una relación de ortogonalidad, etc. Esto es análogo a los polinomios de Legendre.

Saludos, Rodrigo.
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Re: Consulta eje 6

by CABRERA SANTIAGO -
Hola profe, no había tenido en cuenta esa relación, muchísimas gracias. De paso te consulto para el eje 6, ya que voy a rehacerlo con esto en mente,
¿Puedo expresar la densidad de corriente usando la relación:
 P_l^0(x)=P_l(x) ?

Porque estoy con un problema a la hora de resolverlo, y es que, usando esta relación que mencionas, de un lado tengo una serie de  P_l^0 y del otro una serie con  P_l^1 . ¿Hay que usar las relaciones algebraicas entre las funciones asociadas? Perdona la molestia,
 
Saludos,
Santiago.
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Re: Consulta eje 6

by Eyheralde Rodrigo -
Formalmente podés pensarlo en término de funciones asociadas de Legendre pero a los efectos prácticos es lo mismo que pensarlo como una serie de polinomios de Legendre. No hay problema con que uses un conjunto de funciones ortogonales en una identidad y uno diferente en otra. Lo importante es que tenés un conjunto de ecuaciones que te fijan los coeficientes libres.