Hola, Brian. Lo que vos decís está bien, pero no veo cuál es la contradicción. El ejercicio pide probar que si $G$ verifica ..., entonces es finito y además es cíclico de orden primo. Vos lo que decís es que si es cíclico infinito, entonces tiene subgrupos propios; luego si no tiene subgrupos propios, entonces no puede ser cíclico infinito.

Dicho de otra forma, la hipótesis implica que si $1\ne g\in G$, entonces $G=\langle g\rangle$. Luego $G$ es cíclico. No puede ser infinito por tu argumento, luego es isomorfo a ${\mathbb Z}_n$, y el único caso en que ${\mathbb Z}_n$ no admite subgrupos propios es cuando $n$ es primo.