Acabo de subí la versión completa de la lista 4 que agrega más ejercicios.

Si la bajaron hoy más temprano sugiero que la vuelvan a bajar pues acabo de agregar sugerencias para el ejercicio 62.

Donde dice "la fórmula de Selberg", se refiere a la fórmula del teorema 4.18 en la página 100 de Apostol, la vamos a demostrar el martes.

Destacados:

- Entre el 61 y el 62 se demuestra que si pi(x) / (x/log x) tiene límite, ese límite debe ser 1.

- En el 63 se prueba la fórmula para la suma de mu(n)/n^2 que vimos en clase (1 / zeta(2)).

- En 64, 65, 66 hay tres maneras diferentes de probar que zeta(2) = pi^2/6.

De esto último, hay 14 demostraciones en http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf, algunas más en https://math.stackexchange.com/questions/8337/different-methods-to-compute-sum-limits-k-1-infty-frac1k2-basel-pro, en https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem, y en https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html.

Si quieren saber más al respecto, el Teorema 12.17 en Apostol explica la fórmula para zeta(2k) donde k es un entero positivo arbitrario. Por el contrario, no se conoce ninguna fórmula sencilla para zeta(2k+1), y se sabe poco sobre esos números. Por ejemplo: Apéry probó en 1979 que zeta(3) es irracional, pero no se sabe si es trascendente. Al parecer se sabe que al menos uno entre { zeta(5), zeta(7), zeta(9), zeta(11) } es irracional, pero nada más que eso !