Hola Pedro,
Te respondo en orden también:
1) En
, dos conjuntos
y
están relacionados si y sólo sí
.
Por ejemplo si
son los números naturales y
es el conjunto de los pares, entonces dos subconjuntos de los naturales
y
van a estar relacionados si
, y esto es si los pares que pertenecen a
están incluídos en
y viceversa. Espero el ejemplo te ayude, sino consultá nomás de nuevo.
2) Si una relación
en
es simétrica y antisimétrica, dados
tal que
, por lo primero tenemos que
, y con lo segundo obtenemos
. Entonces si dos elementos están relacionados son iguales.
Sobre lo que planteaste, lo correcto es que
implica
es equivalente a
implica
. De ahí el error luego en la deducción, porque una relación puede no ser asimétrica pero sí ser antisimétrica (por ejemplo la relación de menor o igual en los enteros).
3) Creo que la duda iba por la parte del 2, pero cualquier cosa amplío la respuesta nomás.
Saludos,
Leandro
Te respondo en orden también:
1) En
![\mathcal{P} (U) \mathcal{P} (U)](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/8d506e0353897bf09f8d12807ece2a24.gif)
![A A](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)
![B B](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)
![A \cap X = B \cap X A \cap X = B \cap X](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/7081dd7add805d69fd8205e1e42fcb2b.gif)
Por ejemplo si
![U U](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.gif)
![X X](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![A A](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)
![B B](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)
![A \cap X = B \cap X A \cap X = B \cap X](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/7081dd7add805d69fd8205e1e42fcb2b.gif)
![A A](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.gif)
![B B](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.gif)
2) Si una relación
![\mathcal{R} \mathcal{R}](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/39b57a564b2a471f12f7cd184731490f.gif)
![X X](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![x,y \in X x,y \in X](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/ffe69226e25df417ab82cf92f74102c8.gif)
![x \mathcal{R} y x \mathcal{R} y](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/2d860d60821df0b84fab6650250f59ce.gif)
![y \mathcal{R} x y \mathcal{R} x](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/a529bb1acfe8319c99aaa51601c272bd.gif)
![x = y x = y](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/fb0df7fe75e0f63f0ff672dca8422ca1.gif)
Sobre lo que planteaste, lo correcto es que
![p p](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
![q q](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.gif)
![\neg q \neg q](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/d2027aa1f66f0c264f171e26b892adae.gif)
![\neg p \neg p](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/89eaff44dacb455aca540625cbe4cd98.gif)
3) Creo que la duda iba por la parte del 2, pero cualquier cosa amplío la respuesta nomás.
Saludos,
Leandro