Tal vez llego medio tarde, pero como los p_i son irreducibles son primos (PID) y como no son asociados son en particular coprimos. Se sigue lo mismo para las potencias y por el ejercicio 5 los P_i son coprimos.

Sean H y K coprimos, veamos que la intersección está incluída en el producto.
1 ∈ H+K sii ∃h,k. h+k = 1.
Sea c ∈ H∩K y hc+hk = c ∈ HK.
Resta generalizarlo por inducción.