La definición que dimos de relación asimétrica implica que dicha relación no es reflexiva. Si cambiamos la definición pidiendo siguiente condición:

Si $x\neq y$ y  $x\mathcal{R}y$, entonces $x {\not{\mathcal{R}}} y.$

Entonces nos queda la definición de antisimetría, que no es lo mismo. Por ejemplo la relación de igualdad cumple con la condición anterior, es decir que es antisimétrica. Pero no es asimétrica. 

A continuación algunas observaciones sobre la relación entre las diferentes propiedades (incluyendo las ya referidas):

1) $\mathcal{R}$ asimétrica $\Rightarrow$ $\mathcal{R}$ no es reflexiva (suponiendo que estamos en un conjunto no vacío)

2) $\mathcal{R}$ asimétrica $\Rightarrow$ $\mathcal{R}$ es antisimétrica

3) Ser asimétrica o antisimétrica no implica que la relación no sea simétrica, pues la relación vacía cumple las tres propiedades a la vez. Sin embargo este es el único ejemplo de relación simétrica que cumple alguna de las otras dos porpiedades.

4) Una relación puede ser antisimétrica y no ser asimétrica.