Matemática Discreta 2020: Definición de relación asimétrica.

Buenas,
la definición que manejamos de relación asimétrica es la siguiente:

"Para todo a, b ∈ A tal que aRb, entonces bRa"

Manejándonos estrictamente con esta definición, si la relación R es reflexiva
entonces no puede ser asimétrica. Ya que la afirmación "aRa entonces aRa"
es falsa.

La pregunta es: ¿asumimos esto, o afinamos la definición de relación
asimétrica agregando la restricción de que a sea distinto de b ?

Gracias,

Federico Grandi

Re: Definición de relación asimétrica.

de ACUÑA THIAGO - domingo, 10 de mayo de 2020, 12:51

Me parece que queda claro que en la relación asimétrica "a" es distinto de "b", porque sino estaríamos en la relación de antisimetría, que dice que de la única manera que se relacionan "a" con "b" y "b" con "a" (aRb y bRa) es cuando a=b.

Re: Definición de relación asimétrica.

de Sequeira Emiliano - domingo, 10 de mayo de 2020, 13:42

La definición que dimos de relación asimétrica implica que dicha relación no es reflexiva. Si cambiamos la definición pidiendo siguiente condición:

$x\neq y$ y

$x\mathcal{R}y$ , entonces

$x {\not{\mathcal{R}}} y.$

Entonces nos queda la definición de antisimetría, que no es lo mismo. Por ejemplo la relación de igualdad cumple con la condición anterior, es decir que es antisimétrica. Pero no es asimétrica.

A continuación algunas observaciones sobre la relación entre las diferentes propiedades (incluyendo las ya referidas):

$\mathcal{R}$ asimétrica

$\Rightarrow$

$\mathcal{R}$ no es reflexiva (suponiendo que estamos en un conjunto no vacío)

$\mathcal{R}$ asimétrica

$\Rightarrow$

$\mathcal{R}$ es antisimétrica

3) Ser asimétrica o antisimétrica no implica que la relación no sea simétrica, pues la relación vacía cumple las tres propiedades a la vez. Sin embargo este es el único ejemplo de relación simétrica que cumple alguna de las otras dos porpiedades.

4) Una relación puede ser antisimétrica y no ser asimétrica.