Biofísica 2023: Consulta ejercicio matrices asociativas

Buenas tardes, estaba revisando este ejercicio de matrices y quise comprobar si estaba bien el resultado multiplicando Mxf para que me devolviera g y me di cuenta que lo hice mal, queria saber si hay un problema estaba en los cálculos por favor.

Gracias

Re: Consulta ejercicio matrices asociativas

by Acosta Servetto Ismael - Wednesday, 31 January 2024, 2:46 PM

Hola María,

En efecto,

$n = -2$ para que se cumpla la ortogonalidad:

$f \cdot g = 0$ . Ahora bien, la matriz asociativa se obtiene utilizando vectores de entrada y salida que además de ser ortogonales, deben tener norma 1. Esto implica que:

$||f|| =||g|| =1$

Puedes notar rápidamente que este no es el caso para ninguno de los dos vectores. Por lo tanto hay que encontrar algún coeficiente

$\alpha, \beta$ respectivamente que cumpla con esta propiedad. Por ejemplo, para

$f$ tenemos que:

$f_n = \alpha f = \alpha [2, 4] = [2\alpha, 4\alpha]$

Donde llamaremos

$f_n$ al vector normalizado de

$f$ .

$||f_n|| = \sqrt{(2\alpha)^2 + (4\alpha)^2} = \sqrt{4 \alpha ^2 + 16 \alpha ^2} = \sqrt{\alpha ^2 (4+16)} = \alpha \sqrt{20} = \alpha \sqrt{4 \cdot 5} = 2 \alpha \sqrt {5} = 1$

Entonces

$\alpha = \frac{1}{2 \sqrt{5}}$ . Haciendo un análisis similar encontramos que

$\beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Por tanto, la matriz asociativa

$A_n$ es:

$A_n = g_n \times f_n ^T = \alpha \beta (g \times f^T) = \left( \begin{matrix} \frac{-2}{5} & \frac{-4}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{matrix} \right)$

Realizando

$A_n \times f_n$ comprobarás que devuelve

$g_n$ . Además se puede ver que:

$A_n = \alpha \beta A$ , por lo que:

$A = \frac{1}{\alpha \beta} A_n = 10 A_n \Rightarrow A = \left( \begin{matrix} -4 & -8 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) = g \times f^T$

Saludos,

Re: Consulta ejercicio matrices asociativas

by CANAY MARIA - Wednesday, 31 January 2024, 4:24 PM

Buenas a mi me pasó lo mismo en este ejercicio. Me quedó una consulta de todas formas, a qué se refiere con que tienen que tener norma 1?

Re: Consulta ejercicio matrices asociativas

by Acosta Servetto Ismael - Wednesday, 31 January 2024, 4:28 PM

Dado un vector cualquiera $f = (f_1, f_2, f_3, ..., f_n)$ de $n$ elementos, la norma de un vector (también llamado "módulo" en este contexto) se obtiene como:

$||f|| = \sqrt{f_{1}^2+f_{2}^2 + f_{3}^2 + ... + f_{n}^2}$

Saludos,