Hola Tobías.

Te digo lo que entiendo yo que pasa acá y esperamos a que Mariana confirme o desmienta y en cualquier caso si tiene algo más para acotar amplíe.

Los polinomios definidos como series formales de soporte finito a priori no son funciones de variable x (de hecho son funciones de variable n que devuelven el coeficiente del término de grado n). En este sentido son objetos algebraicos para los cuales definimos operaciones que les dan estructura de anillo como vimos en clase. Mediante la propiedad universal tomando $B=A$ y $\varphi = Id$ podemos definir qué quiere decir evaluar un polinomio $P(x)$ en $x = b$. 

El procedimiento descrito anteriormente nos da lo que se le suele llamar una definición intencional de los polinomios como funciones (En este caso de A en A pero podríamos por ejemplo tomar cualquier anillo B tal que A sea subanillo de B y el morfismo como la inclusión en lugar de la identidad, como por ejemplo evaluar en los reales un polinomio de coeficientes enteros). La palabra intencional refiere a que estamos diciendo cómo calcular la función. Estamos si se quiere dando un algoritmo para evaluarla (su código fuente).

Como bien observás esta definición tiene la característica de que puede pasar que dos funciones intencionalmente distintas al ser evaluadas coincidan en cada punto de su dominio. La noción de que dos funciones son la misma si coinciden en cada punto de su dominio (o equivalentemente si coinciden como conjuntos -o aún más generalmente clases- de pares ordenados) es lo que se le suele llamar igualdad extensional. Este nombre claramente hace referencia a que una función se define al igual que cualquier otro conjunto por extensión, es decir indicando cada uno de los pares ordenados que la conforman o equivalentemente dando un dominio y una imagen para cada punto de ese dominio. Observar que en ese sentido no hace falta definir un codominio para definir una función ni para decidir si dos funciones son iguales.

Por suerte en el caso al que hacés referencia hay una forma muy fácil de hacer que ambas nociones de igualdad coincidan: cocientar. Podemos definir $~$ como la menor relación de equivalencia que contiene al par $(0, x^{p-1})$ y es estable por las operaciones del anillo. De esta forma se tiene por ejemplo $1+ x^p = 1 + x \cdot x^{p-1} ~ 1 + x \cdot 1 = 1+ x$. Ahora se puede probar que en el cociente dos polinomios son iguales extensionalmente si y sólo si son iguales intencionalmente. Más aún (y acá esto lo estoy tirando recontra al boleo sin chequearlo así que por favor Mariana corregime si me equivoco) el cociente tiene estructura de anillo y la proyección es un morfismo de anillos.

Saludos,

Gabriel

Hola Tobías, tu contradicción viene de que estás pensando en funciones polinomiales. Estás pensando en la función de $\mathbb Z_p$ en $\mathbb Z_p$ asociada al polinomio. El teorema de Fermat dice que esos dos polinomios tienen asociada la misma función polinomial (porque evaluados en todo punto coinciden).
Pero nosotros, para definir polinomio, y también grado de un polinomio, estamos hablando de "polinomio" como una expresión puramente formal. No hablamos de su función asociada de $A$ en $A$.
¿Esto aclara tu duda?