Álgebra lineal I 2020: Invertibilidad de la matriz asociada a una relación

Hola,

Estaba leyendo las notas que saque en la clase de matriz cambio de base y tengo anotado que si la matriz asociada a una transformación es invertible entonces también lo es la transformación, y recuerdo que habíamos dicho que una matriz era invertible si su determinante era distinto de cero.

Entonces se me ocurrió que, si lo que dije antes es cierto, conociendo la matriz asociada podemos saber si la transformación es un isomorfismo, porque calculamos el determinante y si es distinto de cero entonces lo es.

Igual no se que tan útil es esto, porque si tenemos la matriz entonces tenemos dos bases, que nos dan la dimensión, y de la dimensiones podemos sacar si son isomorfismo o no. Igual no estoy muy seguro de esto último.

¿Tiene sentido esto?

Saludos.

Re: Invertibilidad de la matriz asociada a una relación

de Puricelli Bocianskas Vittorio - lunes, 29 de junio de 2020, 22:14

Augusto,

Hasta el segundo párrafo tenés toda la razón. En el tercero, ojo, sólo con las dimensiones de los espacios de llegada y salida no podes averiguar si una transformación es un isomorfismo.

Es cierto que si las dimensiones del dominio y el codominio no coinciden, la transformación no puede ser un isomorfismo. Pero si coinciden nada te asegura que sea un isomorfismo la transformación lineal.

Pensá en transformaciones de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que no sean isomorfismos.

Si tenés una matriz asociada, como decís, podés verificar que es invertible, y una forma (muy directa) de ver eso es calculando su determinante (que estudiaremos mejor en esta semana).

Abrazo.