Juan,

Una forma linda de hacerlo es siguiendo la sugerencia que aparece en las notas. La expando un poco: fijás $i,j$ con $i \neq j$, considerás la matriz auxiliar $\widehat{A}$ que es igual que $A$ pero cuya fila $j$-ésima es igual a la fila $i$-ésima de $A$.

-- ¿Cuánto vale $\det(\widehat{A})$? (mirar sus filas).

-- Probar que desarrollando por la fila $j$-ésima te queda $\det(\widehat{A})=c_{ij}$

Intentá por ahí... cualquier cosa repreguntá por acá.

Abrazo.