Determinante e invertibilidad

Determinante e invertibilidad

de NARIO JUAN -
Número de respuestas: 1

Buenas

Estuve intentando probar que det(A)0A es invertible.

La sugerencia es probar que 1det(A)adj(A) es la inversa buscada. Si hacemos el producto de A por dicha matriz tenemos

A1det(A)adj(A)=1det(A)(Aadj(A))

Para terminar obteniendo la identidad tiene que darse que 

Aadj(A)=det(A)In

Juntando todo tenemos lo que queríamos

A1det(A)adj(A)=1det(A)(Aadj(A))=1det(A)det(A)In=In


Sucede que se me complica para probar esa muy conveniente igualdad. Me queda claro que al hacer Aadj(A) cada entrada de la diagonal va a valer det(A). Lo que no me queda lindo es que las otras entradas son 0 en un caso general, para matrices de 3x3 todo ok.

Gracias

En respuesta a NARIO JUAN

Re: Determinante e invertibilidad

de Puricelli Bocianskas Vittorio -

Juan,

Una forma linda de hacerlo es siguiendo la sugerencia que aparece en las notas. La expando un poco: fijás i,j con i \neq j, considerás la matriz auxiliar \widehat{A} que es igual que A pero cuya fila j-ésima es igual a la fila i-ésima de A.

-- ¿Cuánto vale \det(\widehat{A})? (mirar sus filas).

-- Probar que desarrollando por la fila j-ésima te queda \det(\widehat{A})=c_{ij}

Intentá por ahí... cualquier cosa repreguntá por acá.

Abrazo.