El curso seguirá más o menos linealmente el libro 'Real Analysis' de Stein-Shakarchi. El libro de 'Real Analysis' de Royden es también recomendado, así como las notas de McMullen (disponibles en su página web). 

(Clase 1, 19 de marzo)  Introducción al curso.

(Clase 2, 21 de marzo) Medida exterior en R y conjuntos medibles. 

(Clase 3, 26 de marzo) Construcción de medida de Lebesgue en R^d por medio de cubrimientos por cubos. Medida, medida exterior, propiedades básicas. 

(Clase 4, 28 de marzo) Aditividad de la medida de Lebesgue. Aproximación de medibles por compactos y abiertos. Discusión acerca de invariancia por isometrías. Construcción de un conjunto no medible. 

(Clase 5, 2 de abril) Funciones medibles. Propiedades básicas (operaciones, limites, supremos). Funciones características, simples y escalones. Aproximación monótona de funciones medibles por simples. 

(Clase 6, 4 de abril) Principios de Littlewood. 

(Clase 7, 9 de abril) Integral de Lebesgue de funciones simples, acotadas de soporte acotado y positivas en orden creciente de dificultad. Propiedades básicas (linealidad, monotonía, desigualdad triangular) y Teoremas de convergencia (Convergencia acotada, Lema de Fatou, Convergencia Monótona). 

(Clase 8, 11 de abril) Funciones integrables en general y propiedades generales de la integral. Teorema de Convergencia Dominada. Espacio L^1, completitud. Convergencia en L^1 implica subsucesión convergente ctp. Contraejemplos varios a teoremas de convergencia si fallan las hipótesis. 

(Clase 9, 23 de abril) Pantallazo de Análisis Funcional. Espacios de Banach y criterios de completitud. Ejemplos. Espacios L^p, desigualdad de Minkowski. Completitud de L^p. Densidad de continuas, simples, escalones, etc...  

(Clase 10, 25 de abril) Teorema de Fubini y Tonelli. 

(Clase 11, 30 de abril) Diferenciación, presentación del problema. Puntos de densidad. 

(Clase 12, 2 de mayo) Teorema de diferenciación de Lebesgue. Desigualdad maximal de Hardy-Littlewood. Lema de cubrimiento de Vitali. 

(Clase 13, 7 de mayo) Discusiones acerca de la longitud de curvas y conjuntos 'patológicos' en el plano y el espacio (copo de nieve, curva de Peano, collar de Antoine, curva de Osgood, etc...). 

(Clase 14, 9 de mayo) Ejemplo de función con derivada no integrable y de función creciente con derivada nula ctp. (en Stein hay varios) . Curvas rectificables, variación acotada y relación entre definiciones. Funciones de variación acotada como resta de no-decrecientes.

(Clase 15, 14 de mayo) Repaso práctico, definición de cubrimiento de Vitali.

(Clase 16, 16 de mayo) Teorema de cubrimiento de Vitali. Toda función  creciente es derivable en casi todo punto.

(Clase 17, 21 de mayo) Funciones de variación acotada son derivables casi todo punto y su derivada es integrable. Continuidad absoluta y derivada nula casi-todo punto implica constante. 

(Clase 18, 23 de mayo) Espacios de medida (álgebras, sigma-álgebras, completitud) y ejemplos. Medida exterior y teorema de Caratheodory. 

(Clase 19, 28 de mayo) Medidas de Borel (en espacios métricos). Medidas sigma-finitas y de Radón. Medidas métricamente exteriores. Aproximación por abiertos y cerrados. 

(Clase 20, 30 de mayo) Premedidas en álgebras y extensiones. Unicidad de la extensión para espacios sigma-finitos (en particular, unicidad de la medida de Lebesgue). Aplicaciones a medidas producto y medidas de Borel en R (en el práctico 7 habrá un ejercicio para completar los detalles). 

(Clase 21, 4 de junio) Integración en espacios de medida en general, incluyendo teoremas de convergencia (Fatou, convergencia monótona, convergencia dominada), aproximación por simples y teorema de Egorov. Espacios L^p y su completitud. Ejemplo de la medida de conteo y series. 

(Clase 22, 6 de junio) Teorema de Fubini para medidas producto. Cocientes de espacios de medida y enunciado del Teorema de desintegración de Rokhlin. Comentarios sobre dualidad y expresión de medidas como dual de las funciones continuas. 

(Clase 23, 11 de junio) Medidas signadas. Descomposición de Hahn y de Jordan. Conceptos de medidas absolutamente continuas y mutuamente singulares. 

(Clase 24, 13 de junio) Teorema de Radon-Nykodim. 

(Clase 25, 18 de junio) Teorema de representación de Riesz que representa las medidas signadas como el dual de las funciones continuas. Discusión sobre espacios polacos y equivalencia de medidas de Borel en dichos espacios. Ideas sobre convergencia débil estrella y compacidad. 

(Clase 26, 20 de junio) Medida y dimensión de Hausdorff, definición y propiedades básicas. Discusión de algunos ejemplos. 

(Clase 27, 27 de junio) Dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor usual. Discusión sobre conjuntos autosimilares. Comportamiento con respecto a funciones Hölder continuas.