Diagrama de temas
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Bienvenidos al curso de Matemática Discreta 2020 para la Licenciatura en Matemática.
Este espacio será fundamental para el desarrollo del curso en forma no presencial.En esta página encontrarán:- Información general del curso.
- Detalle de temas tratados semana a semana.
- Material teórico: clases grabadas y notas del curso.
- Listas de ejercicios correspondientes a cada tema.
- Un foro de anuncios de suscripción obligatoria donde se irá anunciando todo lo importante sobre el curso.
- Un foro de consultas de suscripción opcional.
Objetivos del curso:
Se pretende que el estudiante se familiarice con nociones básicas que serán fundamentales para continuar el aprendizaje en matemática. Aquí también se hará énfasis en el método deductivo y la correcta construcción de demostraciones de los enunciados planteados. Esto será el foco de la primer parte del curso.
En una segunda parte se trabajará sobre estructuras finitas. Se buscará con esto que el estudiante sea capaz de crear estrategias para enfrentar problemas de formulación elemental basándose en la abstracción. Se espera que esto sirva para incentivar el trabajo colaborativo entendiéndolo como algo fundamental de la actividad matemática.
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Acceso a prácticos y consultas
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Presentación del curso. Números naturales: principio de inducción, operaciones y orden en los naturales. (Capítulo 2 de las notas)
Clase de práctico: Trabajamos sobre el Práctico 1. Repasamos qué es la Inducción y trabajamos los ejercicios 2-c y 4 del práctico.
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Inducción completa y principio de buena ordenación. (Capítulo 2 de las notas)
Relaciones de orden (Capítulo 3 de las notas)
Clase de práctico: Trabajamos el ejercicio 13 del práctico 1.
Link a simulador de las Torres de Hanoi (ejercicio 11): http://towersofhanoi.info/Play.aspx
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Terminamos con relaciones de orden.
Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia y conjunto cociente. Particiones. (Capítulo 3 de las notas)
Fecha límite para la primer entrega: 28/4.
Clase de práctico: Repasamos las distintas propiedades que pueden cumplir las relaciones y las definiciones de relaciones de orden, orden total y de equivalencia. Estudiamos varios ejemplos de relaciones viendo cuáles de estás propiedades cumplen y qué tipo de relaciones son.
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Números racionales. Matriz asociada a una relación. (Capítulo 3 de las notas)
Finitud y cardinal finito. Principio del palomar. (Capítulo 4 de las notas)
Clase de práctico: Trabajamos los ejercicios 11 y 12 del práctico 2.
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Numerabilidad. Ejemplos de conjuntos numerables y no numerables. (Capítulo 4 de las notas)
Fecha límite para la segunda entrega: 12/5
Clase de práctico: Comenzamos a trabajar el práctico 3. Trabajamos los ejercicios 2, 4 y 7.
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Principios básicos de Conteo: principio de la suma, del producto y de inclusión-exclusión (Sección 5.1 de las notas).Clase de práctico: Trabajamos los ejercicios 9a, 10b y 10c del práctico 3 y los ejercicios 1 y 2 del práctico 4.
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Permutaciones, arreglos y arreglos con repetición (secciones 5.2 y 5.3 de las notas).
Clase de práctico: Trabajaremos sobre los ejercicios 5, 6 y 7 del práctico 4.
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Aplicaciones de arreglos con repetición: cantidad de relaciones y cardinal del conjunto de partes. Permutaciones circulares. (Secciones 5.2 y 5.3 de las notas).
Clase de práctico: Trabajamos sobre los ejercicios 12, 13 y 14 del práctico 4.
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Combinaciones, teorema del binomio. Combinaciones con repetición. (Sección 5.4 de las notas)
Teórico del lunes: Empezamos con combinaciones. Vimos la fórmula de Stiefel y construimos a partir de esta las primeras filas del triángulo de Pascal. Probamos la fórmula de combinaciones a partir de las fórmulas de arreglos y de permutaciones. Por último aplicamos lo visto al problema de calcular la probabilidad de obtener flor en una mano de truco ciego.
Teórico del miércoles: Probamos el teorema del binomio. Planteamos el problema de combinaciones con repetición en sus diferentes formulaciones y lo resolvimos a partir de las combinaciones sin repetición.
Clase de práctico: Trabajamos los ejercicios 1, 2 y 4 del práctico 5.
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Permutaciones con repetición y teorema multinomial .Desórdenes. Cantidad de funciones sobreyectivas. (Sección 5.5 de las notas)
Teórico del lunes: Estudiamos el problema de permutaciones con repetición y demostramos la fórmula que lo resuelve.
Teórico del miércoles: Interpretamos el número de permutaciones con repetición como el cardinal de un conjunto de funciones, en base a esto y siguiendo los argumentos del Teorema del Binomio probamos el Teorema Multinomial. Calculamos el número de funciones sobreyectivas que hay entre dos conjuntos finitos usando el principio de inclusión exclusión y con esto deducimos una fórmula para el número de Stirling de segunda especie. Por último expresamos la cantidad de relaciones de equivalencia que pueden definirse en un conjunto finito usando los números de Stirling. Quedó para pensar el problema de calcular los desórdenes de n elementos.
Práctico: Trabajamos los ejercicios 9 y 14 del práctico 5. Comentamos el ejercicio 18.
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Grafos, primeras definiciones: grafos dirigidos y no dirigidos, isomorfismos de grafos, subgrafos y subgrafo generado, multigrafos. (Sección 6.1 de las notas)Teórico del lunes: Definimos grafos dirigidos y no dirigidos e interpretamos el conjunto de aristas como una relación en el conjunto de vértices en ambos casos. Definimos isomorfismo de grafos y vimos algunos ejemplos.Teórico del miércoles: Vimos los grafos completos y bipartitos. Definimos subgrafos y encaje de un grafo en otro. Probamos que un grafo se encaja en otro si y solo si es isomorfo a un subgrafo de este.Práctico: Trabajamos los ejercicios 12, 16 y 17 del práctico 5, y el ejercicio 1 del práctico 6.Fecha límite para la cuarta entrega: lunes 22/6
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Subgrafo generado y complemento, multigrafos (Sección 6.1). Grado de un vértice y caminatas en grafos (Sección 6.2).
Teórico del lunes: Definimos el subgrafo de un grafo dado generado por un subconjunto de vértices y el complemento de un grafo sin lazos. Luego dimos la definición la multigrafo y multigrafo generado y vimos noción de isomorfismo y encaje en este contexto. Quedó como ejercicio definir sub-multigrafo y sub-multigrafo generado.
Teórico del miércoles: Definimos la noción de grado de un vértice y vimos como se relaciona el grado con el número total de aristas. Luego definimos camino, camino cerrado, camino simple, ciclo, recorrido, circuitos y longitud de un camino. Por último probamos que si existe un camino que une dos puntos, entonces existe un camino simple que los une.
Práctico: Trabajamos los ejercicios 2, 3, 5 y algo del 7.
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Conexión (Sección 6.1 de las notas)
Recorridos y circuitos Eulerianos (Sección 6.2 de las notas)
Teórico del lunes: Definimos la noción de grafo conexo y componente conexa de un grafo o multigrafo. Dotamos a un grafo conexo cualquiera con una distancia en el conjunto de los vértices. Luego definimos Recorrido y circuito Euleriano, enunciamos sin demostrar el teorema de Euler que caracteriza los grafos que admiten circuitos Eulerianos y obtuvimos como corolario una caracterización de los grafos que admiten recorridos Eulerianos abiertos.
Teórico del miércoles: Comenzamos a probar el Teorema de Euler que caracteriza los grafos con circuitos Eulerianos. Nos quedó pendiente el último paso de la demostración.
Práctico: Trabajamos sobre los ejercicios 9, 10, 14 y partes del 15 y 17.
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Caminos y ciclos Hamiltonianos (Sección 6.2 de las notas).
Grafos planos y característica de Euler (Sección 6.4 de las notas)
Fecha límite para la quinta entrega: 13/7
Teórico del lunes: Dimos una demostración alternativa del Teorema de Euler. Definimos camino y ciclo Hamiltoniano, vimos algunos ejemplos de grafos que los admiten o no y enunciamos un teorema que da condiciones necesarias y suficientes para la existencia. Por último definimos la noción de grafo plano, región y grado de una región.
Teórico del miércoles: Demostramos el teorema de la fórmula de Euler para grafos planos conexos sin lazos. Observamos que los grafos planos pueden verse como grafos esféricos. Definimos la noción de subdivisión elemental y lo que significa que dos grafos sean homeomorfos. A partir de algunas observaciones concluimos que la fórmula de Euler es cierta también para grafos conexos con lazos o multigrafos en general. Luego mostramos que el grafo bipartito K_3,3 no es plano (quedó como ejercicio ver que el grafo completo de cinco vértices tampoco lo es). Por último enunciamos el teorema de Kuratowski que caracteriza todos los grafos planos.
Práctico: Trabajamos sobre los ejercicios 2, 3 y 4 del práctico 7.
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Sólidos platónicos (Sección 6.4 de las notas)
Teórico del lunes: Vimos cuales son los cinco sólidos platónicos, interpretándolos como grafos planos con igual grado en todos los vértices y en todas las regiones. Probamos, usando propiedades de los grafos planos, que no existen más que cinco poliedros que cumplen con estas propiedades.
Práctico: Trabajamos sobre los ejercicios 6, 7 y 10 del práctico 7.
Fecha límite para la sexta entrega: 25/7