Base de complemento ortogonal.

Base de complemento ortogonal.

by Fabra Stephanie -
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Buenas tardes, tengo una consulta general sobre el método para hallar bases del complemento ortogonal. 

En uno de los ejercicios del práctico 5, se nos proporcionaba el siguiente dato:

 W \subseteq V de forma tal que W es el subespacio generado por el vector  v \in  C³ , v=(i,0,1) y se nos pedía hallar la base de Wperp. 

En clase de práctico vimos un método que consistía en extender la base de W a base de V y (como  V=W \oplus Wperp ) tomar parte de la base extendida como base de Wperp. 

Mi pregunta es si es correcto pensar en el siguiente método:

1)Como v genera W,  entonces: 

 Wperp= [(x, y, z) \in C³/ =0]

Por lo tanto, obtendría el subespacio generado al cuál debe pertenecer (x, y, z) para ser perpendicular a v, que sería el plano al cual v corresponde como vector normal. 

2) Tomo dos vectores li de ese subespacio y formarán la base buscada. 

Gracias! 



In reply to Fabra Stephanie

Re: Base de complemento ortogonal.

by Abella Andrés -
Hola. Lo que dices está bien para hallar una base de W^\perp. Pero tené en cuenta que ese ejercicio lo te pide es hallar una base ortonormal de W^\perp. Pero estás bien cerca. Después que hallaste una base de W^\perp le aplicás Gram-Schmidt y obtenés una base ortogonal, luego la normalizás y ya está.

Dicho sea de paso lo que dijiste al principio así como está no es correcto. Lo que podés hacer es tomar una base de W (que estaría formada solo por el vector (i,0,1)), extenderla a una base de C^3 y luego aplicarle Gram-Schmidt tomando como primer vector el (i,0,1) . En ese caso los vectores que obtuviste (que son ortogonales al (i,0,1)) son una base de W^\perp y además forman una base ortogonal.

Los dos métodos anteriores son perfectamente válidos para resolver el problema.