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Consultas sobre distribuciones - PR1

Consultas sobre distribuciones - PR1

by CABRERA SANTIAGO -
Number of replies: 12

Hola, buenos días!

Quería hacer un par de preguntas sobre los ejercicios 5 y 7 del práctico. Para empezar, en el ejercicio 5.c.2, mostrar que  H(x)J_0(x) es solución como distribución, ¿quiere decir que hay que derivarla como distribución, y luego integrar  [xy''+y'+xy] contra una función de prueba y ver que da 0? Con ese razonamiento puede ver la parte anterior, 5.c.1, pero no la .2, y quizás sea otra la forma de pensar el ejercicio en sí.

Luego, tengo una consulta del ejercicio 7, literal d, tengo la siguiente pregunta. Cuando por ejemplo, debemos expresar la densidad de carga de un anillo cargado, utilizando la delta en coordenadas cartesianas, ¿es posible usar expresiones que no hallamos visto en la clase para resolver el problema? Por ejemplo, expresiones asociadas a   \delta(f(\vec{r})) .

Disculpen las molestias, agradezco si pueden darme alguna indicación!

Saludos,

Santiago

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Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Eyheralde Rodrigo -
Hola Santiago. En el 5.c tenés que derivar como distribuciones, sumar los tres términos y probar que aplicados a cualquier función de prueba te da siempre cero. En algún punto vas a tener que usar cómo actúan la delta y su derivada (si te fijás no es necesario hacerlo para el escalón porque la J_0 se encarga de esa parte).

En cuanto al ejercicio 7, puede ser que algunas propiedades se vieron en una dimensión y que tengan que usar generalizaciones para 2 o 3 dimensiones. Por ejemplo, el cambio de variable para la delta funciona igual que en 1D pero cambiando el valor absoluto de la derivada por el Jacobiano.
Para empezar a trabajar lo más importante es ver la dimensión de la delta involucrada. Es decir, dado que el espacio es 3D, una delta 3D te fija un punto (sirve para representar cargas puntuales), una delta 2D te fija una superficie unidimensional (sirve para representar lineas de carga) y una delta 1D te fija una superficie bidimensional (por ejemplo una placa cargada).

Si querés presentá algún ejemplo concreto y lo discutimos en el foro.

Saludos, Rodrigo.
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Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by CABRERA SANTIAGO -
Hola Rodrigo. Gracias por la indicación del ejercicio 5, voy a ver si con eso ya puedo resolverlo.

Sobre el ejercicio 7, ya que me lo indicás, y creo que es más fácil consultarlo de esa forma, comento mis dudas referidas a la parte d)iii que entiendo no es de entrega por lo que no debería generar problema discutirlo.

Se trata del anillo de carga, que por simplicidad, asumo que se encuentra sobre el plano xy. En coordenadas cilíndricas por ejemplo, no hay dependencia en el ángulo  \varphi ...¿entonces directamente lo ignoro? Porque si utilizo como densidad  \rho=\lambda\delta(r-a)\delta(z) obtengo la carga total que debo tener - me parece que acá es útil haber entendido bien la parte anterior del ejercicio, de cuando existen simetrías, que no me quedo claro como resolver usando la delta para un punto.

En cartesianas, esto es lo que había preguntado en el mensaje anterior, ¿lo correcto sería usar, por ejemplo, una delta de este tipo:  \delta(\frac{x^2+y^2-a^2}{2a})  ? Para luego integrar esta delta, usaría la expresión 1.5.4 de Zangwill, me refería a si hacer esto es válido.

Por último, en esféricas, me queda una duda, y busqué en Zangwill, Jackson y Vanderlinde y en ninguno hallé una explicación a esto. Tengo un término que sería  \delta(\theta-\frac{\pi}{2}) que impone z=0. Ahora bien, ese término es adimensionado, debo dividirlo por algo... ¿cómo se cuál es ese algo? Porque en principio, funciona tanto  1/ a sin(\theta) como  1/ r sin(\theta) cuando luego integro para obtener la carga total. Por otros problemas me parece que el término correcto es dividiendo con r como variable y no fijo en a... pero no sé como justificarlo más que probando integrar.

Si te parece que es mejor lo hablamos el viernes, yo aprovecho para dejar planteadas las dudas, agradezco cualquier ayuda,
Saludos,
Santiago
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Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Eyheralde Rodrigo -
En el caso del anillo tenés que asegurarte que la distribución que representa la densidad de carga sólo tenga soporte (sea diferente de cero) arriba del anillo (para eso están las deltas), que respete la simetría (si la densidad lineal de carga no depende del ángulo tampoco lo debe hacer la distribución tridimensional) y que la integral en todo el espacio te de la carga total. En los casos planteados (con simetría) esos criterios son suficientes. En casos más complicados tendrías que asegurarte de que al integrar en un plano que corte la linea de carga, se obtenga como resultado la densidad lineal original.
Es cierto que hay más de una distribución tridimensional que te puede dar la misma densidad (como el ejemplo que planteas). En ese caso sugiero usar un criterio de consistencia: si obtenés la densidad de carga en unas coordenadas entonces la expresión en otras coordenadas debería coincidir con el resultado de hacer el cambio de coordenadas (recordar cómo funciona el cambio de coordenadas en la delta).
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Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Eyheralde Rodrigo -
Ahora en cuanto a las expresiones concretas que planteas: en la de cartesianas te falta una delta en z y en la de esféricas te falta una delta en r=a. Ahora, usando la de cilíndricas como referencia podés hacer el cambio de coordenadas y fijar las funciones que multiplican a las deltas en las otras coordenadas por un tema de consistencia, aunque no es absolutamente necesario.
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Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Tesis Montes Andreina Noel -
Hola!

Yo venía a decir que encaré el ejercicio 5 como lo dijo Santiago. Le tire eso que plantea la letra y veo si da 0. Me queda una parte igual a 0 porque J0 es solución, pero luego tengo un sumando que no sé cómo sacarlo. El viernes pregunto bien...

Por otro lado, tuve algunos problemas para plantear el 5.a.3. Si alguien me puede tirar alguna ayudita les agradezco.

Saludos!
In reply to Tesis Montes Andreina Noel

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by CABRERA SANTIAGO -
Hola, yo tuve el mismo problema que vos, por eso consulté, capaz hay alguna forma de ver que ese término extra da 0.

En cuanto al 5.a.3, comparto la duda... en principio me quedaría la derivada funcional de tanh(1/x) pero me parece que ese no es el camino para resolverlo.

Saludos
In reply to CABRERA SANTIAGO

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by BOSCHETTI GIANNI -
Para el 5c tuve que usar esta relación para las J de Bessel, capaz les sirve.
 J_{n+1}(x)=(2n/x) J_n (x)- J_{n-1}(x)
In reply to BOSCHETTI GIANNI

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Eyheralde Rodrigo -
Yo no necesité esa relación para probarlo, lo único que usé de J_0 es que resuelve la ecuación diferencial y es una función suave. Estaría bueno el viernes ver cómo usaste esa propiedad para resolver el problema (tengo mis sospechas y me parece muy interesante).
In reply to Eyheralde Rodrigo

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by CABRERA SANTIAGO -
Hola, disculpen que siga con el tema, pero no veo como el hecho de que  J_0 sea suave permite eliminar el término extra que mencionabas, el que no esta multiplicado por el escalón de Heaviside (el término multiplicando a H me quedó justamente  (xy''+y'+xy)f que es nulo). Me quedó un sumando extra  f(0)+\delta'(x)J_0(x)f(x) , y en principio, me parece que eso no es nulo.

Quizás derivé mal las distribuciones, ¿a alguien más le quedo algo por el estilo? Sino, reviso mis cuentas y veo si pifié antes.

Saludos!
In reply to CABRERA SANTIAGO

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Eyheralde Rodrigo -
Me parece que en el segundo término te faltó un x multiplicando. El hecho de que J_0(x) sea suave es para que x J_0(x)f(x) sea suave y puedas aplicar la definición de \delta' en el segundo término. Eso es lo que se cancela con el f(0).
In reply to Eyheralde Rodrigo

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by CABRERA SANTIAGO -
Me disculpo por las molestias, se ve que estaba cansando cuando arranque a plantearlo y no me daba cuenta. Gracias, saludos!
In reply to CABRERA SANTIAGO

Re: Consultas sobre distribuciones - PR1

by Eyheralde Rodrigo -
Fíjense que \tanh(1/x) es una función suave en todos lados salvo en x=0 donde tiene un escalón. Yo le veo dos maneras para encarar este ejercicio. La más intuitiva es intenten escribirla como la suma de un escalón más una función suave y luego derivar. La mas sistemática sería aplicar la definición de la derivada de una distribución integrando contra una función de prueba y después interpretar los términos de quedan (ojo que la función tiene dos regiones donde es suave y por tanto vale la integración por partes por separado).