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Consulta eje 5 - PR2

Consulta eje 5 - PR2

by CABRERA SANTIAGO -
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Buenas tardes!

Estuve trabajando en el ejercicio 5, y me ha entrado una duda, porque no estoy pudiendo concluir las operaciones.

Estoy intentando hallar la solución para  g_n(y,y') , y para arrancar supuse que podía escribir las soluciones como  h_n(y')f_n(y) . Quería verificar si esto era correcto. Mi plan sería hallar por ejemplo h, en las dos regiones,  y'>y, y' y luego, asignar a f lo que vale h en la región opuesta. El tema es que, no sé como imponer la condición de borde en la región de  y'>y .

Las soluciones para h me quedan  A\:ch(n\pi y')+B\:sh(n\pi y') y no sé como imponer la condición de que valga 0 en y'=1 y llegar a la expresión que piden, sin de antemano meter que la solución sea  sh(n\pi (1-y)) .

Agradezco si pueden darme una mano,

Saludos!

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Re: Consulta eje 5 - PR2

by CABRERA SANTIAGO -
Creo que ya lo resolví, de todos modos, aprovecho para dejar una duda del ejercicio 6,
¿Hay algún método sistemático a aplicar en ese ejercicio? Porque entiendo que con imágenes ya lo vimos... ¿Deberíamos reiterar esos cálculos, o hallar la solución de otro modo? Hay una forma formal de resolverlo por imágenes?

saludos!
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Re: Consulta eje 5 - PR2

by CABRERA SANTIAGO -
Hola, quería aprovechar este hilo para consultar sobre el problema 8, no me queda clara del todo la situación, ¿como sería la geometría del problema? Disculpen las molestias. Saludos!
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Re: Consulta eje 5 - PR2

by Eyheralde Rodrigo -
Tenés razón, la letra no es suficientemente clara. Se trata de un pozo rectangular semi-infinito en dos dimensiones como los que usaron el Física Moderna para resolver la ecuación de Schrödinger. El fondo del pozo es un segmento de lado 2a con un potencial V(x) dado en la letra y las paredes verticales son dos segmentos semi-infinitos a potencial cero. No se describe el pozo en coordenadas cartesianas a propósito, para que ustedes decidan dónde es más conveniente poner los ejes para resolver el problema.

Saludos
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Re: Consulta eje 5 - PR2

by Eyheralde Rodrigo -
Lo más intuitivo es usar el resultado del método de las imágenes en electrostática (como se hace en 3D). En este caso sería el resultado del estudio de lineas de carga (homogéneas). Un método más sistemático es el sugerido en la parte c) del ejercicio 4. Si el problema de autovalores \nabla^2\psi_n=\lambda_n\psi_n con las condiciones de borde requeridas tiene una solución completa (es decir, \delta(x-y)=\sum_n\psi_n(x)\psi_n(y)^*) entonces la función de Green es G(x,y)=-\sum_n\frac{\psi_n(x)\psi_n(y)^*}{\lambda_n}. Adelante puede ir una constante, dependiendo cómo de defina la ecuación de Green (en 3D se suele poner un 4\pi).
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Re: Consulta eje 5 - PR2

by CABRERA SANTIAGO -
O sea, en este problema las opciones serían usar imágenes, o intentar hallar las autofunciones del Laplaciano? Yo consultaba para saber cuál era su idea en cuanto a la resolución del problema. ¿Cómo plantearíamos de manera formal la resolución con el método de imágenes? ¿Partimos de la solución para electrostática y vemos que la función de Green funciona? Disculpas por las molestias, te agradezco las aclaraciones que has enviado!
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Re: Consulta eje 5 - PR2

by Eyheralde Rodrigo -
En este caso, la idea es usar que ya conocemos una solución a \nabla^2\phi=-\frac{\lambda\delta(\vec{r}-\vec{r}')}{\epsilon_0} donde \nabla^2 es el laplaciano 2D y de ahí encontrar la constante que multiplica para cumplir la ecuación de Green. En 2D no se si hay una convención para esa ecuación. Yo escribiría \nabla^2G=-2\pi\delta(\vec{r}-\vec{r}') porque 2\pi es el análogo al ángulo sólido (4\pi) de tres dimensiones, pero es muy común definirla como \nabla^2G=-\delta(\vec{r}-\vec{r}') o también \nabla^2G=\delta(\vec{r}-\vec{r}') (esta es la costumbre de los matemáticos). En cualquier caso te va a dar proporcional al potencial de una linea de carga y sólo hay que fijar la constante de proporcionalidad.
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Re: Consulta eje 5 - PR2

by Eyheralde Rodrigo -
La idea era escribir g_n como combinación lineal de \sinh y \cosh en la variable y'. Por lo tanto los coeficientes A y B en principio son funciones de y. En las zonas y>y' e y pueden ser coeficientes distintos. Las condiciones de borde reducen un poco las incógnitas y la simetría de g_n se encarga del resto.