Consulta ejercicios "opcionales" PR1

Consulta ejercicios "opcionales" PR1

por CABRERA SANTIAGO -
Número de respostas: 4

Buenas tardes,

¿Qué tal? Quería preguntar si alguien ha podido revisar el ejercicio 4 del práctico 1, en concreto la transformación rotor de un campo vectorial, porque me está costando ver su ley de transformación. De momento solo pude plantear la siguiente relación:

 (\nabla\times\vec{V})_i=\epsilon_{ijk}R_{ja}\frac{\partial}{\partial x_a}R_{kb}V_b

y no sé como seguir adelante con las operaciones. Si alguien tiene algún truco para llegar a una expresión más amena, agradecido si me indican.

De paso, quería hacer la siguiente verificación, la transformación de  \nabla \Phi , ¿sería  (\nabla\Phi)'_a=R_{ab}(\nabla\Phi)_b ? ¿Le quedó así a alguien?

Disculpen las molestias,

Saludos,

Santiago

Em resposta à CABRERA SANTIAGO

Re: Consulta ejercicios "opcionales" PR1

por Eyheralde Rodrigo -
Hola Santiago, la expresión para el rotor es la más difícil de probar. Para resolverla usé los siguientes ingredientes:
1) vi la transformación desde la perspectiva pasiva (lo que rota son los versores de la base)
2) Usé que la inversa de una rotación es la traspuesta y en particular que el determinante de una rotación es 1.
3) Usé la siguiente identidad que vale en 3D: \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=det\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right).
Estas propiedades te sirven para probar que la relación \hat{e}_i\times\hat{e}_j=\hat{e}_k se mantiene para los vectores rotados. Se puede hacer primero el caso 2D como calentamiento, porque ahí las matrices de rotación tiene una expresión sencilla.

Espero que esto ayude. Éxitos!
Em resposta à Eyheralde Rodrigo

Re: Consulta ejercicios "opcionales" PR1

por CABRERA SANTIAGO -
Hola! Probaré con esos ingredientes entonces y veo si llego a buen puerto, cualquier cosa te consulto por esta vía o el viernes. Muchas gracias,
Saludos!
Em resposta à CABRERA SANTIAGO

Re: Consulta ejercicios "opcionales" PR1

por CABRERA SANTIAGO -
Consulta, porque me mareó un poco pasar a pensarlo en forma pasiva, asi que medio que terminé haciendo ambos caminos... Para hacerlo de forma directa de la expresión que mencioné - pov activo, así como para mostrar la relación que indicabas:
 (\hat{e_i}'\times\hat{e_j}')=\epsilon_{ijk}\hat{e_k}' ,
terminé utilizando la misma relación:   \epsilon_{abc}det(R)=\epsilon_{ijk}R_{ia}R_{jb}R_{kc}  . Luego era ordenar términos, mi duda es, ¿estas similitudes se deben a que de fondo la transformación es la misma, y solo cambia la forma en que la miramos?

Saludos!
Em resposta à CABRERA SANTIAGO

Re: Consulta ejercicios "opcionales" PR1

por Eyheralde Rodrigo -
Me imagino que la propiedad que usaste es equivalente a las que yo usé aunque acepto que la tuya tiene una pinta mucho más elegante. Y tu observación es exactamente así. No hay nada en el formalismo que distinga si uno de los puntos de vista es más físico que el otro, por lo tanto son intercambiables.