Hola, Brian. Si $a$ y $b$ no conmutan, entonces no tiene por qué haber una descripción simple de $\langle a,b \rangle$.

Lo que vos escribís en general no funciona, por ejemplo $aba$ no está en ninguno de esos dos conjuntos.

Lo que sucede en varios de los casos que aparecen en el curso, es que suele haber relaciones de conmutación entre los elementos. Por ejemplo, si vale $ba=ab^3$, entonces todo elemento de $\langle a,b \rangle$ lo vas a poder escribir de la forma $a^nb^m$ para ciertos enteros $n,m$. Eso sale (por ejemplo) usando el ejercicio 2 del práctico 2.