Consultas eje 2 y 3 del pr4

Consultas eje 2 y 3 del pr4

by CABRERA SANTIAGO -
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Buenos días! ¿Qué tal?

Quería hacer un par de preguntas sobre los ejercicios mencionados.

En la parte b del 2, ¿cuál es la idea? ¿Cómo puede avergiuar que multipolos contribuyen sin conocer los \alpha para l=2?

En el ejercicio 3, parte a, la idea es que, como la densidad es una combinación de P_0 y P_2 solo aparecen los términos con  Y_0^0 e  Y_2^0 en el desarrollo? Asumo que es para grandes distancias, pero no se especifica, ¿está bien? Para la parte b, ¿habría que usar la integral de Coulomb? No me doy cuenta como resolverla explícitamente, ¿la idea es que separar en dos partes, r' menor que r y r' mayor que r?

Y lo último, ¿la energía de interacción como la hallaríamos? ¿Integrando el potencial*densidad? O hay algo más sencillo.

Disculpas por la cantidad de preguntas,

Saludos,

Santiago.
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Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by Eyheralde Rodrigo -
Hola Santiago. En el ejercicio 2 tenés que asumir que los coeficientes \alpha(t) son conocidos. En la parte a) tenés que probar la propiedad presentada (usando que R es una función real) y en la parte b) tenés que encontrar cuáles son los armónicos esféricos que participan a orden l=2 y cómo se combinan con los coeficientes \alpha que dan la dependencia temporal.

En cuanto al ejercicio 3 el inicio es exactamente así, viendo la dependencia de la densidad de carga en los polinomios de Legendre. Luego los coeficientes son de la aproximación donde estás lejos del centro. Ojo que la densidad de carga cae suavemente a cero así que hay que ser cuidadoso con el tema de "estar lejos". En principio tenés que dividir en dos zonas y después justificar que la contribución de la carga lejos es despreciable respecto de la otra.
Luego, la energía de interacción es el aporte a la energía electromagnética hecha por la interacción de los campos del núcleo y de la nube de electrones. En la densidad de energía podés identificar los términos que salen del cuadrado de cada campo y los que salen del producto escalar de un campo por otro (también se pueden escribir como integral de potencial de uno por densidad de carga del otro). Para el caso del núcleo hay que asumir que el campo es cuadrupolar. No se dice en la letra pero podés asumir que el cuadrupolo tiene el "eje z" alineado con el eje z de dipolo de la nube electrónica.

Saludos, Rodrigo.
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Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by CABRERA SANTIAGO -
Hola profe,

te agradezco la respuesta! Perdoname pero sigo con una duda de la primer parte, que es la siguiente. ¿Qué información tengo para poder saber que armónicos a orden l=2 participan? POrque no tuve problemas con la parte a, pero no sé como resolver la parte b.

Saludos,
Santiago!
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Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by Eyheralde Rodrigo -
Lo que tenés es la información de que R es un función real y por tanto los armónicos esféricos participan de un forma específica. De forma alternativa se puede hacer una descripción en términos de armónicos esféricos reales que se mencionan en el compendio de fórmulas.
In reply to Eyheralde Rodrigo

Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by CABRERA SANTIAGO -
Profe, perdona la molestia, me surgió una duda con el 3 ahora. ¿El término a despreciar es la integral desde r hasta infinito? Porque sería un e^(-r') arriba y encima dividido por una potencia de r'... ¿Pero de que forma lo justifico? Pregunto porque estoy viendo como encarar la parte b y c. Por un lado tengo un conflicto con la parte b, porque para hallar el potencial cerca del origen, deberia quedarme con la intgral que antes desprecié. Por otro lado, para la parte c, ¿debo considerar el potencial como serie para hallar el campo eléctrico y así poder hallar la densidad de carga?

Por último, no entendí del todo como sería el campo cuadrupolar. ¿EL dato Q a que entrada de la matriz Qij corresponde?

Disculpas x la cantidad de consultas, el viernes te pregunto si es mucho para el foro.
Saludos,
Santiago
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Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by Eyheralde Rodrigo -
En cuanto a las integrales radiales que definen los coeficientes del potencial, podés justificar que el término que se desprecia cae a cero exponencialmente con r (acotando la integral). En cambio el término que conservás cae como una potencia de r. Para calcular la energía te conviene usar la densidad de carga electrónica y el potencial del núcleo así te evitás usar la aproximación para el potencial de la nube electrónica.
En cuanto al momento cuadrupolar, podés asumir además que hay simetría de revolución en torno a uno de los ejes principales (en los cuales el tensor es diagonal). Sumando esto a que estamos hablando del tensor sin traza, te reduce los coeficientes libres a uno sólo (Q). Esto está discutido en la aplicación 4.2 de Zangwill (página 105).
In reply to Eyheralde Rodrigo

Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by CABRERA SANTIAGO -
Genial profe, con esos datos creo que medio liquidé el ejercicio. Me queda una única duda, si podes decirme te agradezco.
En la parte b del ejercicio 3, en vez de hacer la aproximación que mencionas, ¿tenemos que hacer al revés, y suponer que la primer integral es la nula verdad? La que va entre 0 y r... Mi duda es cómo justifico que este término es menor que el otro cuando r->0, de forma que me quede el resultado que piden mostrar cerca de 0.

Nuevamente gracias y saludos!
In reply to CABRERA SANTIAGO

Re: Consultas eje 2 y 3 del pr4

by Eyheralde Rodrigo -
Ahí va. La estrategia en general sería la siguiente.
Al inicio tenés una integral de la forma I(r)=\int_0^r f(r')dr' y otra de la forma J(r')=\int_r^\infty g(r')dr'. Entonces, cuando querés la aproximación en r\to\infty escribís I(r)=\int_0^\infty f(r')dr'-\int_r^\infty f(r')dr' y probás que el segundo término es pequeño con respecto al primero, al igual que J(r). Cuando querés hacer la aproximación de r entonces escribís I(r) como una expansión en r y J(r)=\int_0^\infty g(r')dr'-\int_0^r g(r')dr' y escribís el segundo término como una expansión en r. En este ejercicio hay que quedarse sólo hasta el orden r^2.

De forma alternativa, en este ejemplo ambas integrales pueden resolverse de forma exacta integrando por partes (varias veces). Entonces se puede hacer la aproximación luego del cálculo.