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Sobre la entrega del ejercicio 11 del práctico 2.

Sobre la entrega del ejercicio 11 del práctico 2.

by Eyheralde Rodrigo -
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Hola a todas y todos.

La mayoría de ustedes encaró muy bien este ejercicio e hicieron bien los cálculos, pero hay un aspecto conceptual que quiero remarcar sobre las series de Fourier y que vale para cualquier desarrollo ortogonal (por ejemplo los desarrollos es armónicos esféricos que estamos usando bastante en el curso).

Cuando les queda una expresión de la forma

\sum_{n=0}^{\infty} A_n\sin(\frac{n\pi x}{L}) + B_n\cos(\frac{n\pi x}{L})=f(x)

en un intervalo acotado,primero tienen que asegurarse que el conjunto sea completo. En el caso de las series de Fourier eso significa que el intervalo de interés es de longitud 2L.

Luego, la manipulación formal para obtener el coeficientes A_{n'} consiste en multiplicar por \sin(\frac{n'\pi x}{L}) de ambos lados e integrar en el intervalo 2L. Así

\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{2L}A_n\sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{n'\pi x}{L}) + B_n\cos(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{n'\pi x}{L})dx=\int_0^{2L}f(x)\sin(\frac{n'\pi x}{L})dx.

Usando la ortogonalidad de ese conjunto de funciones sólo sobrevive un término de la suma

A_{n'} L=\int_0^{2L}f(x)\sin(\frac{n'\pi x}{L})dx.

Decimos que es un procedimiento formal porque la conmutación de la suma y la integral no está garantizada siempre. Sin embargo, la última expresión es una definición de la serie de Fourier y su convergencia (en diferentes sentidos) está dada por teoremas de convergencia que vieron en ecuaciones diferenciales y que dependen de las propiedades de f. Esto que estoy diciendo lo deberían tener claro para encarar esta parte del curso y noté ciertos errores o dudas durante la corrección que me hacen sugerirles que repasen estas ideas.

Saludos, Rodrigo.