Otra forma de llegar al mismo resultado es así:
Consideramos los 5 niños y 3 sillas y los ordenamos. Luego colocamos las 4 sillas restantes entre niño y niño. Y ahí nos aseguramos de que si no había una silla entre un par de niños, ahora la habrá. Estas son todas las formas de resolver la situación.

Como las 3 sillas son indistinguibles y los 5 niños son distintos hay $\frac{8!}{3!}$ formas posibles (piensen en las palabras con letras repetidas). Esto da $\times 7 \times 5\times 4 \times 3 \times 2$ lo mismo $56\times 5!$.