Duda ejercicio 3 práctico 8

Duda ejercicio 3 práctico 8

de Britos Simmari Brian -
Número de respuestas: 2
Hola, me surgio una duda del ejercicio 3 parte d del práctico 8.
Nos pide probar que \mathbb{Q}(u) = \mathbb{Q}(\sqrt{2},i) donde u=\sqrt{2}+1. 
Jugando con los grados de las extensiones logre probar que [\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}(u)] =1 pero no veo como concluir a partir de esto.

PD: Lo que se me ocurre, pero no se si está bien, es usar un argumento tipo álgebra lineal. Como \mathbb{Q}(u) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},i) y además [\mathbb{Q}(u):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}] entonces necesariamente \mathbb{Q}(u) = \mathbb{Q}(\sqrt{2},i) . ¿Esto se puede hacer?

Saludos! 
En respuesta a Britos Simmari Brian

Re: Duda ejercicio 3 práctico 8

de Abella Andrés -
El argumento es de álgebra lineal, pero se puede hacer más simple. Si K\subset F y [F:K]=1, entonces \{1\} es una base de F como K-espacio; eso implica F=K.