Grupos y Teoría de Galois 202121: Duda ejercicio 3 práctico 8

Hola, me surgio una duda del ejercicio 3 parte d del práctico 8.
Nos pide probar que

$\mathbb{Q}(u) = \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ donde

$u=\sqrt{2}+1$ .
Jugando con los grados de las extensiones logre probar que

$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}(u)] =1$ pero no veo como concluir a partir de esto.

PD: Lo que se me ocurre, pero no se si está bien, es usar un argumento tipo álgebra lineal. Como

$\mathbb{Q}(u) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ y además

$[\mathbb{Q}(u):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}]$ entonces necesariamente

$\mathbb{Q}(u) = \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ . ¿Esto se puede hacer?

Saludos!

Re: Duda ejercicio 3 práctico 8

by Abella Andrés - Friday, 16 July 2021, 10:58 AM

El argumento es de álgebra lineal, pero se puede hacer más simple. Si

$K\subset F$ y

$[F:K]=1$ , entonces

$\{1\}$ es una base de

$F$ como

$K$ -espacio; eso implica

$F=K$ .

Re: Duda ejercicio 3 práctico 8

by Britos Simmari Brian - Friday, 16 July 2021, 3:53 PM

Buenaso, gracias Andrés!