Anillos y Módulos 2021: Ejercicio 3 - práctico 5

Hola, en este ejercicio tenemos lo siguiente:
Como

$-1$ es ráiz de

$f=x^4+x^3+x+1$ entonces

$x^4+x^3+x+1=(x+1)(x^3+1)$ y por lo tanto

$f$ es reducible, hasta acá todo bien, pero no entiendo bien porque tiene que ser un cuerpo para que esto valga, ya que la descomposición anterior tiene solo coeficientes

$1$ , el cuál está en todo anillo (con unidad) y además el

$1$ nunca es divisor de cero. ¿Puede ser que esté resultado valga para todo anillo con unidad

$A$ ?

Saludos.

Re: Ejercicio 3 - práctico 5

de Haim Mariana - miércoles, 29 de septiembre de 2021, 08:24

Hola Brian. Efectivamente. El polinomio $x+1$ no es invertible en ningún $A[x]$ puesto que multiplicado por cualquier polinomio, siempre tendrá un término del tipo $x^n$ y por lo tanto no será el polinomio $1$. Por otro lado el producto que escribiste también vale en cualquier anillo. Por lo que estás en lo cierto. De todas maneras, quedémonos con la noción de irreductibilidad en dominios, todo lo que tiene que ver con divisibilidad, lo hacemos en dominios. Por lo que en ese ejercicio, lo más saludable sería cambiar cuerpo por "dominio". Gracias.