Anillos y Módulos 2021: Ejercicio 6.c

Hola, tengo una duda en lo que hice porque no use una hipótesis: El ejercicio nos pide ver que si

$P_1, \cdots, P_n$ son ideales primarios de la forma

$P_i = (p_i^{m_i})$ con

$p_1, \cdots, p_n$ irreducibles no asociados entonces

$P_1 \cdots P_n = P_1 \cap \cdots P_n$ .

Es claro que

$P_1 \cap \cdots \cap P_n \subset P_1 \cdots P_n$ ya que los elementos de

$P_1 \cdots P_n$ son suma de productos de los

$P_i$ en particular podemos tomar el producto de un mismo elemento que esté en la intersección de los ideales.

Para la otra inclusión:
Por definición

$x \in P_1 \cdots P_n$ si

$x=\sum_{j=0}^r q_{1j} \cdots q_{nj}$ donde

$q_{ij} \in P_i, r \in \mathbb{N}$ .
Ahora usando que estamos en un dominio (en partícular conmutativo) y que

$q_{ij} \in P_i$ si

$q_{ij}=k_{ij}p_i^{m_i}$ tenemos que

$x= \sum_{j=1}^r k_{1j}\cdots k_{nj} p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n} = \left[ \sum_{j=1}^r k_{1j}\cdots k_{nj} \right] p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n} =a p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n}$ .

Luego

$p_j^{m_j} | x$ por lo tanto

$x \in (p_j^{m_j})=P_j$ para todo

$j=1, \cdots,n$ y por lo tanto

$x \in P_1 \cap \cdots P_n$ .

La duda es, que a priori no uso que los irreducibles no son asociados, o capáz que si y no veo donde.

Saludos.

Re: Ejercicio 6.c

by Haim Mariana - Monday, 4 October 2021, 8:14 AM

Hola Brian,
no está muy claro lo que hacés.
Para comenzar, el producto de ideales de un anillo conmutativo, siempre está incluido en cada uno de ellos (un elemento del producto de los

$P_i$ es suma de productos de elementos de cada

$P_i$ - cada sumando está en cada

$P_i$ y por lo tanto la suma también).
Esto dice que la inclusión que es clara es

$P_1P_2...P_n\subseteq P_1\cap P_2\cap \cdots P_n$ .

Es la otra inclusión que usa la hipótesis.

Re: Ejercicio 6.c

by Britos Simmari Brian - Monday, 4 October 2021, 3:17 PM

Gracias Mariana, ya entendí donde estabá mi confusión.
Saludos.

Re: Ejercicio 6.c

by TRICANICO JULIAN - Wednesday, 6 October 2021, 3:38 PM

Tal vez llego medio tarde, pero como los p_i son irreducibles son primos (PID) y como no son asociados son en particular coprimos. Se sigue lo mismo para las potencias y por el ejercicio 5 los P_i son coprimos.

Sean H y K coprimos, veamos que la intersección está incluída en el producto.
1 ∈ H+K sii ∃h,k. h+k = 1.
Sea c ∈ H∩K y hc+hk = c ∈ HK.
Resta generalizarlo por inducción.