Ejercicio 6.c

Ejercicio 6.c

by Britos Simmari Brian -
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Hola, tengo una duda en lo que hice porque no use una hipótesis: El ejercicio nos pide ver que si P_1, \cdots, P_n son ideales primarios de la forma P_i = (p_i^{m_i}) con p_1, \cdots, p_n  irreducibles no asociados entonces P_1 \cdots P_n = P_1 \cap \cdots P_n .

Es claro que P_1 \cap \cdots \cap P_n \subset P_1 \cdots P_n ya que los elementos de P_1 \cdots P_n son suma de productos de los P_i en particular podemos tomar el producto de un mismo elemento que esté en la intersección de los ideales.

Para la otra inclusión:
Por definición x \in P_1 \cdots P_n si x=\sum_{j=0}^r q_{1j} \cdots q_{nj} donde  q_{ij} \in P_i, r \in \mathbb{N} .
Ahora usando que estamos en un dominio (en partícular conmutativo) y que q_{ij} \in P_i si q_{ij}=k_{ij}p_i^{m_i} tenemos que 
x= \sum_{j=1}^r k_{1j}\cdots k_{nj} p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n} = \left[  \sum_{j=1}^r k_{1j}\cdots k_{nj} \right] p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n} =a p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n} .

Luego p_j^{m_j} | x por lo tanto x \in (p_j^{m_j})=P_j para todo j=1, \cdots,n y por lo tanto  x \in P_1 \cap \cdots P_n .

La duda es, que a priori no uso que los irreducibles no son asociados, o capáz que si y no veo donde.

Saludos.

In reply to Britos Simmari Brian

Re: Ejercicio 6.c

by Haim Mariana -
Hola Brian,
no está muy claro lo que hacés.
Para comenzar, el producto de ideales de un anillo conmutativo, siempre está incluido en cada uno de ellos (un elemento del producto de los P_i es suma de productos de elementos de cada P_i- cada sumando está en cada  P_i y por lo tanto la suma también).
Esto dice que la inclusión que es clara es P_1P_2...P_n\subseteq P_1\cap P_2\cap \cdots P_n.

Es la otra inclusión que usa la hipótesis.
In reply to Haim Mariana

Re: Ejercicio 6.c

by Britos Simmari Brian -
Gracias Mariana, ya entendí donde estabá mi confusión.
Saludos.
In reply to Britos Simmari Brian

Re: Ejercicio 6.c

by TRICANICO JULIAN -
Tal vez llego medio tarde, pero como los p_i son irreducibles son primos (PID) y como no son asociados son en particular coprimos. Se sigue lo mismo para las potencias y por el ejercicio 5 los P_i son coprimos.

Sean H y K coprimos, veamos que la intersección está incluída en el producto.
1 ∈ H+K sii ∃h,k. h+k = 1.
Sea c ∈ H∩K y hc+hk = c ∈ HK.
Resta generalizarlo por inducción.