Hola:

A continuación comparto una posible planificación de cada tema de los indicados para el examen oral. Comentarios y sugerencias son bienvenidos! De paso aprovecho para preguntar si en esta parte del examen se permite tener algún ayudamemoria en función de los temas (donde obviamente también se evalúe que durante la exposición se haga un uso "sensato" de este material).

1) Medida de Lebesgue
- Mencionar la definción de "medida exterior", y la de ser "medible" según Lebesgue.
- Comentar que no todo es medible de acuerdo a la definición anterior (aludiendo a los conjuntos de Vitali).
- Explicar en qué consisten las propiedades básicas de:
    - monotonía;
    - (sub)aditividad numerable;
    - clausura por complementos, uniones numerables e intersecciones numerables;
    - continuidad de la medida "por abajo" y "por arriba".
- Enunciar y demostrar el primer principio de Littlewood (todo conjunto de medida finita se puede aproximar por cubos cerrados "a menos de ε").

2) Convergencia dominada
- Explicar que el proceso de integración de Lebesgue se define en cuatro pasos, mencionando cómo se define la integral en cada paso.
- Enunciar y demostrar el teorema de convergencia dominada.

3) Diferenciación de Lebesgue
- Mencionar la definición de la "función maximal" de Hardy-Littlewood.
- Enunciar la "desigualdad maximal" de Hardy-Littlewood, explicando brevemente la idea de su demostración (usando el lema de recubrimiento que, a partir de un conjunto finito de bolas abiertas, permite extraer un subconjuto de bolas disjuntas con cierta cota en su medida).
- Enunciar y demostrar el teorema de diferenciación de Lebesgue.

4) Función creciente es derivable ctp
- Explicar brevemente la idea de la demostración del teorema de Vitali (en todo cubrimiento de Vitali de un conjunto medible se puede conseguir una colección finita de intervalos disjuntos, los cuales permiten aproximar el conjunto "a menos de ε").
- Enunciar y demostrar el teorema "función monótona creciente es derivable ctp".
- Mencionar que de lo anterior se puede inferir que $\int_a^b F' \leq F(b)-F(a)$, y explicar un caso donde la desigualdad es estricta.

5) Descomposición de Hahn-Jordan
- Mencionar la definición abstracta de "medida", y la definición de medidas "mutuamente singulares".
- Enunciar y demostrar el teorema de descomposición de Hahn.
- Enunciar y demostrar el teorema de descomposición de Jordan.

6) Teorema de Radon-Nykodim
- Mencionar la definición abstracta de "medida", y las definiciones de medidas "mutuamente singulares" y "absolutamente continua".
- Enunciar y demostrar el teorema de Radon-Nykodim.