Para ver la diferencia entre arreglos con repetición y permutaciones con repetición podés mirar estos dos problemas:

1) ¿Cuántas palabras de largo 6 pueden escribirse usando las letras A, B y C?
2) ¿Cuántas palabras de largo 6 pueden escribirse usando dos A, tres B y una C?

Es claro que ambos problemas son diferentes pues una palabra posible para el problema 1 es la palabra CCCCCC, pero esta no respeta la consigna del segundo problema. Traducido en términos de funciones tenemos las siguientes formulaciones equivalentes:

1) ¿Cuántas funciones $f:\{1,\ldots,6\}\to\{A,B,C\}$ existen? (la palabra que se corresponde con la función $f$ es $f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)$)
2)¿Cuántas funciones $f:\{1,\ldots,6\}\to\{A,B,C\}$ cumplen $\#f^{-1}(A)=2,\#f^{-1}(B)=3\text{ y }\#f^{-1}(C)=1$?

Aquí se ve bastante clara la diferencia pues en el segundo problema tiene más restricciones. La respuesta de la primer pregunta es $AR^3_6$, mientras que la respuesta de la segunda es $P_{6,3,2,1}$. En conclusión, la diferencia entre arreglos con repetición y permutaciones con repetición es que en el primer caso no hay restricción para la cantidad de veces que se repite un elemento, mientras que en el segundo caso esto está estrictamente determinado.

El problema con las permutaciones con repetición parece ser la implementación de un conjunto que tenga cardinal $CR^n_k$ para $n$ y $k$ dados. La idea intuitiva es la siguiente: se quieren tomar $k$ elementos de un conjunto que tiene $n$ elementos diferentes, con la particularidad de que al elegir un elemento este se repone y por lo tanto puede volverse a elegir.
Siguiendo un poco el ejemplo anterior uno podría plantearse el problema de cuántas formas hay de elegir seis letras con repetición en el conjunto $\{A,B,C\}$. Es cierto que por ejemplo representar la elección $A,A,B,B,C,C$ por un conjunto $\{A,A,B,B,C,C\}$ no es del todo correcto porque dijimos que este es igual al conjunto (\\{A,B,C\}\). Por eso consideramos el conjunto de las 3-uplas $(x_1,x_2,x_3)$ donde $x_i\in\mathbb{N}\}$ tal que $x_1+x_2+x_3=6$. De esta forma $x_1$ es la cantidad de letras A que tomamos, $x_2$ es la cantidad de letras B y $x_3$ es la cantidad de letras C, y por lo tanto el ejemplo anterior se ve como la 3-upla $2,2,2$. Podemos escribir en general
$CR^n_k=\#\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{N}^n: x_1+\cdots+x_n=k\}$