Grupos y Teoría de Galois 202121: Duda sobre ejercicio 3 práctico 2

Hola estoy revisando los ejercicios y me surgió una duda, el ejercicio pide probar que si

$G \neq \{1 \}$ no admite subgrupos propios, entonces

$G$ es cíclico finito de orden primo.

Lo de cíclico de orden primo tiene sentido, pero tengo dudas sobre lo de finito, se me ocurre el siguiente argumento:

Si

$|G| = \infty$ entonces como es cíclico es isomorfo a

$\mathbb{Z}$ , el cual sabemos que tiene subgrupos propios, entonces necesariamente

$|G| < \infty$ . ¿Está bien esto?

Re: Duda sobre ejercicio 3 práctico 2

by Abella Andrés - Tuesday, 4 May 2021, 9:06 PM

Hola, Brian. Lo que vos decís está bien, pero no veo cuál es la contradicción. El ejercicio pide probar que si

$G$ verifica ..., entonces es finito y además es cíclico de orden primo. Vos lo que decís es que si es cíclico infinito, entonces tiene subgrupos propios; luego si no tiene subgrupos propios, entonces no puede ser cíclico infinito.

Dicho de otra forma, la hipótesis implica que si

$1\ne g\in G$ , entonces

$G=\langle g\rangle$ . Luego

$G$ es cíclico. No puede ser infinito por tu argumento, luego es isomorfo a

${\mathbb Z}_n$ , y el único caso en que

${\mathbb Z}_n$ no admite subgrupos propios es cuando

$n$ es primo.

Re: Duda sobre ejercicio 3 práctico 2

by Britos Simmari Brian - Tuesday, 4 May 2021, 9:30 PM

Gracias por responder a estas horas jaja, no era la idea.
Quise decir lo mismo que vos, pero me entrevere, gracias nuevamente.