Tiro algunas ideas:

5) No me gustaría quemar este ejercicio porque me parece muy lindo, y romperse un poco la cabeza buscando en el problema las palomas y las jaulas es un bueno para ejercitar la capacidad de abstracción. Sin embargo doy una idea que puede por lo menos dar un punto de partida: pueden imaginar ya que tienen el plano con una recta dibujada y le tiran arriba un triángulo.

10b) Puede pensarse en los siguientes  pasos:  (a) $(0,1)\simeq [0,1]$ (para esto podría utilizarse por ejemplo una estrategia del estilo del ejemplo del hotel de Hilbert (Ejercicio 11)) (b) $\mathbb{R}\simeq (0,1)$. Luego por la transitividad de la equipotencia se tiene lo deseado.

10d)  De las partes anteriores se tienen las siguientes equipotencias: $S\simeq \{0,1\}^\mathbb{N}\simeq \mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{R}\simeq [0,1]$. Luego falta relacionar alguno de los primeros tres con alguno de los últimos dos. Esto no es fácil, recomiendo probar $[0,1]\simeq \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ haciendo algún tipo de división sucesiva del intervalo. Para esto hay que echar mano a algunas cosas que vieron en Cálculo 1 sobre los reales. Tengan en cuenta que existe una función inyectiva de $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ a $[0,1]$ (porque la inclusión de $S$ en $[0,1]$ es inyectiva), luego si construyen una función inyectiva en el otro sentido pueden usar el teorema de Schöder-Bernstein-Cantor (ver Clase 18) para concluir que los conjuntos son equipotentes. Esto último igual no es necesario pero podría ayudar.