$\{0,v\}$ es el conjunto que tiene al $0$ y a $v$, donde $v$ es un vector particular, es decir $\{0,v\}$ es un conjunto de dos elementos. Tengan cuidado con eso, nunca escribimos $\{0,v\}$ pensando en $v$ como un vector genérico.

La respuesta de (A) es entonces no: lo que si es necesario es que $\{0,v\} \subseteq S \cap T$ para algún $v \neq 0$, es decir, que existe $v \neq 0$ en $S \cap T$.

Si leemos el mensaje de Constanza, con mi comentario de arriba, tenemos una respuesta a la pregunta (B). Ella dice que si $\{0,v\}$ fuera un s.e.v, $av$ también estaría en el s.e.v. para cualquier $a \in \mathbb{K}$ (como dice Mateo, la recta generada por $v$ estaría contenida en ese s.e.v).

Por otro lado $av$ no está en $\{0,v\}$ para ningún $a \neq 0,1$, llegamos a un absurdo: entonces parece que no hay subespacios de 2 elementos.

Extra: un caso raro

Sin embargo, pinta una cosa rara (por la generalidad en las definiciones): ¿qué pasaría si $\mathbb{K} = \{0,1\}$? o sea, si los únicos valores que le puedo dar a $a$ son $0$ y $1$. Ahí parece que no funciona el argumento y de hecho: existe un tal cuerpo $\mathbb{K}$, y ¡hay subespacios de dos elementos! (para esos $\mathbb{K}$-espacios vectoriales raros.)

No es nuestra idea meternos con esto , pero es bueno quedarse con ese ruido.

Abrazo.