Experimento

Experimento

por Puricelli Bocianskas Vittorio -
Número de respostas: 6

Hola,

Esto es un experimento. Surgió de algunas entregas que nos llegaron.

La idea es que respondan con su opinión, e intenten dar algún argumento... pueden intentar esbozar una demostración o algo, mandar fotos, lo que quieran.

Son dos preguntas (A) y (B):  sea V un \mathbb{K} espacio vectorial, S y T subespacios.

(A): Si no vale que S \cap T = \{0\}, ¿necesariamente S \cap T = \{0,v\} para algún v \neq 0?

(B) ¿Puede ser \{0,v\} un subespacio?

Em resposta à Puricelli Bocianskas Vittorio

Re: Experimento

por FILIPELI SANTIAGO -
Hola buenas, no me doy cuenta en la parte (A) si cuando dice que la intersección puede ser {0,v} es un v genérico o vendría a ser un v particular, es decir el cero y luego un solo elemento más, el v. Alguien sabe como se puede tomar?
Em resposta à FILIPELI SANTIAGO

Re: Experimento

por FLORES CONSTANZA -
HOLA BUENAS, supongo que se refiere a un v genérico, porque si tomás uno particular que pertenece a la intersección, sabés que pertenece tanto a S como a T y, por ser subespacios vectoriales, los a.v, con a perteneciente a K, también pertenecen a S y a T, y entonces a la intersección, así que no podría ser un elemento solo además del cero.
Em resposta à FLORES CONSTANZA

Re: Experimento

por FILIPELI SANTIAGO -
HOLA BUENAS Constanza, tiene sentido lo que decís. Entonces claro, en la parte (A) si la intersección no puede ser cero, como sabemos que no puede ser vacía porque ambos son subespacios (contienen ambos al 0) entonces la intersección necesariamente debe tener algún elemento que lo ponemos como v genérico. Creo que es algo así
Em resposta à FILIPELI SANTIAGO

Re: Experimento

por Rodríguez Inzaurralde Mateo -
Podrias pensar en el v geométricamente, seria una recta. Si tomas por ejemplo el vector (1,1,1), no va ser solo ese punto seria a(1,1,1) siendo a una variable perteneciente al cuerpo de los reales, entonces ahi tenes una recta. Me explico?
Em resposta à Rodríguez Inzaurralde Mateo

Re: Experimento

por Rodríguez Inzaurralde Mateo -
Por otra parte si S y T son dos subespacios de V, y su intersección es distinto de (0), entonces puede ser (0, v1) o (0, v1, v2), (0, v1, v2, ..., vn) con v1, v2, ... vn distinto de 0.
Si fuera (0, v1) la intersección es una recta, pero puede ser (0, v1, v2) que es un plano u otra cosa.
Em resposta à FILIPELI SANTIAGO

Re: Experimento

por Puricelli Bocianskas Vittorio -

\{0,v\} es el conjunto que tiene al 0 y a v, donde v es un vector particular, es decir \{0,v\} es un conjunto de dos elementos. Tengan cuidado con eso, nunca escribimos \{0,v\} pensando en v como un vector genérico.

La respuesta de (A) es entonces no: lo que si es necesario es que \{0,v\} \subseteq S \cap T para algún v \neq 0, es decir, que existe v \neq 0 en S \cap T.

Si leemos el mensaje de Constanza, con mi comentario de arriba, tenemos una respuesta a la pregunta (B). Ella dice que si \{0,v\} fuera un s.e.v, av también estaría en el s.e.v. para cualquier a \in \mathbb{K} (como dice Mateo, la recta generada por v estaría contenida en ese s.e.v).

Por otro lado av no está en \{0,v\} para ningún a \neq 0,1, llegamos a un absurdo: entonces parece que no hay subespacios de 2 elementos.

Extra: un caso raro

Sin embargo, pinta una cosa rara (por la generalidad en las definiciones): ¿qué pasaría si \mathbb{K} = \{0,1\}? o sea, si los únicos valores que le puedo dar a a son 0 y 1. Ahí parece que no funciona el argumento y de hecho: existe un tal cuerpo \mathbb{K}, y ¡hay subespacios de dos elementos! (para esos \mathbb{K}-espacios vectoriales raros.)

No es nuestra idea meternos con esto , pero es bueno quedarse con ese ruido.


Gracias a Santiago, Constanza y Mateo por postear y a quienes mandaron mail por colgarse.
(pueden seguir planteando dudas, si les quedo algo colgado!)


Abrazo.