Experimento 2

Experimento 2

by Puricelli Bocianskas Vittorio -
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Hola,

Misma idea que el anterior... pero ahora discutir un poco el siguiente enunciado, si es verdadero o falso, dar algún ejemplo, discutir si hay algo cierto... lo que pinte.

Enunciado:

Sea V un \Bbbk-espacio vectorial, X \subset V, entonces

X es l.i. si y sólo si \forall A \subset X, #A=2 \implies A \ \text{l.i.}


Arriba.
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Re: Experimento 2

by RODRIGUEZ AUGUSTO -
Hola, se me ocurre que no tiene por que cumplirse.

Supongamos que tenemos un conjunto X li, esto implica que la única combinación lineal que da 0 es la trivial, luego no podemos afirmar nada sobre los subconjuntos de X porque podría existir una forma, no trivial, de combinar los elementos de dicho subconjunto tal que sea igual a 0. Sabemos que no es posible para la totalidad de los de X, pero en mi opinión, lo mas probable es que no se cumpla si eliminamos algunos elementos.

Creo que habría que fijarse caso por caso si se cumple o no.


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Re: Experimento 2

by FLORES CONSTANZA -
Buenasss

En realidad al tomar un conjunto X li creo que podés afirmar que todos sus subconjuntos son li, ya que si existiera una forma de combinar elementos de un subconjunto de forma tal que diera 0 sin que todos los coeficientes sean 0 como planteás, también lo podrías conseguir con todo X, poniendo esos coeficientes en los elementos de ese subconjunto y multiplicando por 0 todos los demás.

Partiendo de que si un conjunto X es li todos sus subconjuntos también son li, en particular se cumple para los que tienen cardinal 2, pero lo que vendría a ser el recíproco creo que si bien es posible no es necesario; capaz con algún ejemplo se podría mostrar
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Re: Experimento 2

by NARIO JUAN -
Buenas

Como comentaron, esto no se cumple. En específico, no se cumple el recíproco.

Tomemos por ejemplo  V=\mathbb{R}^{2} y  X=\{ (1,0),(0,1),(1,1)\} . Es claro que este conjunto es ld, pues el tercero es suma de los anteriores. Sin embargo, si tomamos los subconjuntos de cardinal 2 podemos ver que son li.


De todas formas, también podemos ver que hay conjuntos que cumplen ambas condiciones y que todos estos son subconjuntos de alguna base de V . 

Tomemos un  X \subset B con  B base.
Como  B es li podemos aplicar lo que comentó Constanza: "si un conjunto X es li todos sus subconjuntos también son li, en particular se cumple para los que tienen cardinal 2". Entonces tenemos que X es li y que sus subconjuntos de cardinal 2 también lo son.

En realidad basta con considerar X \subset A con  A li, pero queda más lindo tomar una base.
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Re: Experimento 2

by Puricelli Bocianskas Vittorio -

Bueno, creo que con los comentarios y el ejemplo queda saldado el asunto..

Me parece muy bueno que piensen en resultados ('teoremas') nuevos, pero es un buen ejercicio intentar demostrarlos más alla de que nos parezcan intuitivamente ciertos, porque como ven.. la intuición puede ser un arma de doble filo :)

Cualquier cosa si algo sigue sin quedar claro pueden postear o consultarnos, vamo' arriba!

Felicitaciones a Augusto, Constanza y Juan son los nuevos:

myth


jeje.