Hola,

$T_{ij}: V \to W$ no es un isomorfismo (en general)! fijate que manda cosas que no son cero (algunos elementos de la base escogida $\mathcal{B}$) en cero.

Ver por qué definirla usando una base $\mathcal{C}$ de $W$ es parte de entender la demostración, está bueno identificar dónde se usa que $\mathcal{C}$ es base de $W$ en la demostración.

Comentario: $T_{ij}$ es un isomorfismo si $dimV = dimW =1$ (hay una sola $T_{ij}$, digamos $T_{11}$). Pensá este caso muy particular, capaz ayuda con lo otro.

Cualquier cosa repreguntá, o comentalo en clase!

Arriba.