Augusto,

Hasta el segundo párrafo tenés toda la razón. En el tercero, ojo, sólo con las dimensiones de los espacios de llegada y salida no podes averiguar si una transformación es un isomorfismo.

Es cierto que si las dimensiones del dominio y el codominio no coinciden, la transformación no puede ser un isomorfismo. Pero si coinciden nada te asegura que sea un isomorfismo la transformación lineal.

Pensá en transformaciones de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que no sean isomorfismos.

Si tenés una matriz asociada, como decís, podés verificar que es invertible, y una forma (muy directa) de ver eso es calculando su determinante (que estudiaremos mejor en esta semana).

Abrazo.