Álgebra lineal I 2020: Sobre ejercicio 4, parte d)

En la parte anterior probamos que toda matriz cuadrada de rango $1$ verifica

$M^2=\lambda M$ para cierto

$\lambda$ .
Esta parte pregunta para qué valores de

$\lambda$ se tiene que

$M+Id$ es invertible (cualquiera sea

$M$ como en la parte anterior).

Observemos que si consideramos la matriz

$M$ definida como sigue: la entrada

$1,1$ es

$-1$ y el resto de las entradas son nulas. Esta matriz tiene rango

$1$ y verifica

$M^2=- M$ . Por otro lado la matriz

$M+Id$ tiene una columna de ceros, por lo que no es invertible.
Esto nos dice que el valor

$\lambda=-1$ no asegura que

$M+Id$ sea invertible.

En otro caso, dada

$M$ tal que

$M^2=-\lambda M$ , consideremos

$N=Id-\frac{1}{1+\lambda}M$ y calculemos

$(Id+M)N$ :
el c\'alculo da

$Id+M-\frac{1}{1+\lambda}M-\frac{\lambda}{1+\lambda}M=Id+M-M=Id$ . Por lo que

$Id+M$ es invertible.